Äquivalenzumformung Übungen und Aufgaben

Wenn man eine Gleichung oder eine Ungleichung umformt, ohne ihren Wahrheitswert zu verfälschen, dann spricht man von einer äquivalenten Umformung.

Die Lösungsmengen sind also gleich. Das heißt, dass Gleichungen bzw. Ungleichungen mit derselben Grundmenge, die die gleiche Lösungsmenge haben, zueinander äquivalent sind.

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichzeichen getrennt werden (Bsp. 5x – 3 = 2).

Um eine solche Gleichung rechnerisch lösen zu können, muss man sie nach x  umstellen, da x die gesuchte Variable ist.

Die Umstellungen die man vornimmt müssen äquivalent sein, da die Lösungsmenge sonst nicht gleich bleibt.Bei der Umformung der Gleichungen muss man bestimmte Regeln beachten, um eine äquivalente Gleichung zu behalten.

1. Additionsregel bzw. Subtraktionsregel:Wenn man die Gleichung umformt und auf einer Seite der Gleichung  eine Zahl addiert, muss man dies auch auf der anderen Seite der Gleichung tun. Subtrahiert man auf einer Seite, muss man auf der anderen Seite ebenfalls subtrahieren. Somit stellt man sicher, dass die Gleichung äquivalent bleibt.

5x – 3 = 2 + x       | +3             auf beiden Seiten addiert man 3

5x = 2 + 3 + x       | -x              auf beiden Seiten subtrahiert man x

5x – 1x = 5

4x = 5  -> x = 5/4

2. Multiplikationsregel bzw. Divisionsregel: Multipliziert man auf einer Seite, so muss man dies auf der anderen Seite auch tun. Dividiert man auf einer Seite, so dividiert man auch auf der anderen Seite, damit die Gleichung äquivalent bleibt.

4x = 12     | /4

4x/4 = 12/4    auf beiden Seiten dividiert man durch 4 

x = 3

3. Addition oder Subtraktion eines Teiltermes: Auf beiden Seiten kann man Teilterme wie z.B. 6x addieren bzw. subtrahieren. Wichtig ist, dass man dies auf beiden Seiten der Gleichung tut. Teilterme kann man nicht addieren bzw. dividieren, da man ansonsten die Lösungsmenge verfälscht (x könnte wegfallen oder quadriert werden).

6x – 1 = 2x |+1

6x = 2x +1  | -2x

4x = 1          | /4

x= 0,25

Durch eine einfache Probe kann man herausfinden, ob man die Gleichung richtig gelöst hat. Man setzt die Zahl, die man für x erhalten hat in die Gleichung ein. Stimmt die Lösung überein, dann hat man x richtig bestimmt.

Wichtig ist, dass man jeden äquivalenten Schritt bei der Umformung auch als Äquivalent kennzeichnet. Dies tut man durch einen „Äquivalenzpfeil“ ó.