Wendepunkte berechnen Beispiele und Aufgaben
Der Punkt auf einem Graphen, an dem er sein Krümmungsverhalten ändert, nennt man Wendepunkt. Er wechselt also von einer Rechtskurve in eine Linkskurve bzw. von einer Linkskurve in eine Rechtskurve
Wann liegt eine Rechtskurve bzw. Linkskurve vor?
- Rechtskurve: f‘‘(x) < 0
- Linkskurve: f‘‘(x) > 0
Wendepunkte kann man immer nach demselben Schema bestimmen.
- Zu Beginn muss man die Funktion f(x) dreimal ableiten, also f‘(x), f‘‘(x) und f‘‘‘(x) bilden.
- Man setzt die 2. Ableitung (f‘‘(x)) gleich Null und kann dadurch den x-Wert ausrechnen. (falls es überhaupt möglich ist)
- Falls man einen x-Wert erhält, setzt man diesen nun in die 3. Ableitung ein. Das Ergebnis muss ungleich 0 sein, dann liegt ein Wendepunkt vor. -> f‘‘‘(x)≠0
- Den x-Wert muss man anschließend in f(x) einsetzen, da man dadurch die dazugehörige y-Koordinate erhält.
Beispiel: f(x) = 5/3x³ – 4×2 + 6x
1. Man bildet f‘(x), f‘‘(x) und f‘‘‘(x)
f‘(x) = 15/3x² – 8x + 6
f‘‘(x) = 10x -8
f‘‘‘(x) = 10
2. Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt: f‘‘(x) = 0
10x -8 = 0 | +8
10x = 8 | /10
x = 8/10
è Man setzt die 2. Ableitung gleich 0 und löst die Gleichung nach x auf.
3. Hinreichende Bedingung: f‘‘‘(x) ≠ 0
f‘‘‘(8/10) = 10
è Da f‘‘‘ ungleich 0 ist, liegt an dem Punkt x= 8/10 eine Wendestelle vor.
4. Nun setzt man x in die Ausgangsfunktion f(x) ein
f(8/10) = 5/3*(8/10)³ – 4*(8/10)² + 6*8+10
= 5/3 * 64/125 – 4* 16/25 + 4 4/5
= 64/75 – 2 14/25 + 4 4/5
= 3 7/75
è Der Wendepunkt liegt bei W(8/10 |3 7/75)