Funktionsgleichung / Funktionsvorschrift bestimmen aus Punkten

Hier wird ausführlich erklärt, wie du die Funktionsgleichung bzw. Funktionsvorschrift aus zwei Punkten richtig bestimmst, was eine sehr beliebte Aufgabe für die Mathematik Prüfung ist.

Funktionsgleichung berechnen

Dazu sind in der Aufgabenstellung meistens nur zwei verschiedene Punkte vorgegeben. Daraus kannst du mit der hier erklärten Methode leicht die Funktionsgleichung bestimmen.

Gegeben: P1 ( 2 / 4)  und  P2 ( 8 / 6 )

• Wir wissen, dass die gesuchte Funktion die Normalform y = m · x + b haben muss. Als erstes setzt du die beiden Koordinaten von jedem der zwei Punkte in diese ein und erhälst somit zwei verschiedene Gleichungen:

für P1 :   4 = m · 2 + b

für P2:   6= m  · 8 + b

• Nun musst du mithilfe der beiden Gleichungen ( die sich ja auf die selbe Funktion beziehen und somit die gleichen Unbekannten haben)  die fehlenden größen ausrechnen.

  Eine Faustregel dabei ist: Du brauchst immer mindestens  soviele Gleichungen wie die Anzahl der Unbekannten, die du ausrechnen sollst, ansonsten klappt die Rechnung nicht. Hier haben wir 2 Unbekannte ( m und b) und 2 Gleichungen – es passt also und wir können so die Variablen ausrechnen.

• Du formst nun eine der beiden so um, dass eine der Unbekannten dort alleine auf einer Seite des = steht und setzt diese in die andere ein ( Einsetzungsverfahren). Das sieht bei unserem Beispiel dann so aus:

4 = m · 2 + b   / – (  m · 2 )

4 – m · 2  = b

Jetzt haben wir die erste nach einer gesuchten Größe umgeformt und setzten diesen Ausdruck in die zweite Gleichung ein:

6= m  · 8 + 4 – m · 2

Nun formen wir solange um, bis wir einen Wert für m herausbekommen:

6= m  · 8 + 4 – m · 2

6 = 8m – 2m + 4

6= 6m + 4   / – 4

2 = 6m   / : 6

m= 1/3

Nun haben wir schon die erste Unbekannte ausgrechnet, die Steigung. Diese setzten wir nun in eine der ursprünglichen zwei Gleichungen ein, um auch die andere herauszubekommen:

für P1 :   4 = 1/3 · 2 + b

4= 2/3 + b   / -2/3

4 – 2/3 = b

b =  10/3

Nun haben wir alle Unbekannten ausgerechnet und kommen so auf unsere Funktionsgleichung:

y = 1/3 · x + 10/3