Sinus und Cosinus ableiten – Beispiele und Regeln
In diesem Artikel wird dir erklärt, wie du Sinus und Cosinus richtig ableiten kannst. Nach einer allgemeinen Erklärung werden dir die Ableitungsregeln erklärt und ein paar Beispiele präsentiert. Aber gleich zu Beginn das Wichtigste, hier sind die richtigen Ableitungen:
- f(x) = sin(x) f‘(x) = cos(x)
- f(x) = cos(x) f‘(x) = -sin(x)
- f(x) = -sin(x) f‘(x) = -cos(x)
- f(x) = -cos(x) f‘(x) = sin(x)
Die Herleitung
Du fragst dich jetzt sicher: warum ist das so? Du erinnerst dich bestimmt noch daran, was die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin) und Cosinus (cos) sind.
Falls nicht, wird es dir hier kurz noch einmal erklärt. Die Graphen der Funktionen Sinus und Cosinus sehen genau gleich aus, beide haben einen wellenförmigen Verlauf. Und bei beiden Funktionen sin(x) und cos(x) schwanken die Werte der Ergebnisse, egal welche Zahl du für x einsetzt, immer zwischen 1 und -1.
Das liegt daran, dass sowohl Sinus als auch Cosinus sogenannte (periodische“ Funktionen sind, deren Ergebnisse sich in bestimmten Abständen immer wieder wiederholen. Der Abstand zwischen den Wiederholungen nennt man „Periode“. Die Periode ist sowohl bei der Sinus-Funktion, als auch bei der Cosinus-Funktion genau 2π lang. Das hängt übrigens mit der Herleitung dieser Funktionen vom Einheitskreis zusammen – aber das soll an dieser Stelle nicht Thema sein.
Die beiden Funktionen nehmen innerhalb ihrer Periode immer die folgenden Werte an:
| 0 | 1/2π | 1π | 3/2π | 2π | |
| Sinus | 0
sin(0) = 0 | 1
Höhepunkt
sin(1/2π) = 1 | 0
sin(1π) = 0 | -1
Tiefpunkt
sin(3/2π) = -1 | 0
sin(2π) = 0 |
| Cosinus | -1
Tiefpunkt
cos(0) = -1 | 0
cos(1/2π) = 0 | 1
Höhepunkt
cos(1π) = 1 | 0
cos(3/2π) = 0 | -1
Tiefpunkt
cos(2π) = -1 |
Auch von Ableitungen hast du sicher schon einmal gehört. Die Ableitung ist bekanntlich ja die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Wert der Funktion. Ganz klar ist dir sicher bereits auf den ersten Blick, dass die Steigung der Tangenten am Höhe- und Tiefpunkt der Sinusfunktion 0 ist. Die Tangente verläuft quasi parallel zur generellen „Richtung“ der Funktion. Komisch, denkst du dir jetzt bestimmt, das sind doch genau die Werte der Cosinus-Funktion an diesen Stellen!
Und so ist es auch: die Steigung der jeweiligen Tangenten der Sinusfunktion ist an allen Stellen genau gleich dem jeweiligen Wert der Cosinusfunktion. Was du dabei bestimmt erkennst: die Werte der Ableitung der Sinusfunktion sind nicht nur gleich der Cosinusfunktion, sondern damit um ein Viertel der Phase, also um 1/2π verschoben.
Die Ableitung der Cosinusfuktion cos(x) ist ebenfalls wieder um 1/2π verschoben und entspricht damit der Sinusfunktion mit negativen Vorzeichen, also –sin(x). Die negative Sinusfunktion –sin(x) abgleitet ergibt die negative Cosinusfunktion –cos(x). Und wenn du dich erinnerst, dass es hier um periodische Funktionen geht, bei denen sich alles immer wieder wiederholt, hast du es bereits geahnt: die Ableitung von –cos(x) ist wieder sin(x), also genau die Sinusfunktion, mit der wir begonnen haben.
So schließt sich der Kreis und du kannst dir folgenden Ableitungskreislauf merken: sin(x) -> cos(x) -> -sin(x) -> cos(x).
Beispiele
Eigentlich ganz einfach, oder? Bereit für ein paar Beispiele?
- f(x) = 5 * sin(x) f‘(x) = 5 * cos(x)
Erklärung: Der Koeffizient 5 bleibt erhalten; aus sin(x) wird abgeleitet cos(x).
- f(x) = 13x – cos(x) f‘(x) = 13 + sin(x)
Erklärung: 13x abgeleitet ist 13; – cos(x) abgeleitet ist –(-sin(x)); ergibt aufgelöst + sin(x)
- f(x) = -15 * sin(x) + 7 * cos(x) f‘(x) = -15 * cos(x ) – 7 * sin(x)
Erklärung: Die Koeffizienten -15 und 7 bleiben jeweils erhalten; sin(x) abgeleitet ergibt cos(x); cos(x) abgeleitet ergibt –sin(x); somit ergibt sich für den ersten Teil der Funktion -15 * cos(x) und für den zweiten Teil 7 * – sin(x); anders dargestellt auch -7 * sin(x)