Grenzwerte berechnen – Beispiele

Durch die Berechnung von Grenzwerten kann man die Grenzwerte von Funktionen ohne Ausprobieren ermitteln. Es gibt Grenzwerte, die gegen positiv Unendlich tendieren und welche, die gegen negativ Unendlich tendieren.

Des Weiteren gibt es Grenzwerte, bei denen sich x an eine Zahl annähert und welche, die sich 0 annähern. Durch die Grenzwertberechnung kann man herausfinden, von welcher Seite sich der Graph annähert.

Es gibt Summenfolgen, Differenzfolgen, Produktfolgen und Quotientenfolgen. Die Folgen werden also entweder miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.

1. Summe: a_n + b_n = s_n
2. Differenz: a_n – b_n = d_n
3. Produkt: a_n * b_n = p_n
4. Quotient : a_n / b_n = q_n

1. besitzt den Grenzwert a + b.

2. weist den Grenzwert a – b auf.

3. wird durch den Grenzwert: a * b bestimmt.

4. besitzt den Grenzwert: a / b.

Grenzwerte berechnen: Beispiel:  a_n = 4n + 2 / 3n – 2

• = lim  (4n + 2) / (3n – 2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ^n->ₒₒ

• = lim  (n(4 + 2/n) / n(3 – 2/n)) 

     ^n->ₒₒ

n wird ausgeklammert,  mit dem Ziel eine konstante Folge und eine Nullfolge zu haben, von beiden  sind die Grenzwerte bekannt:

• = lim  ((4 + 2/n) / (3- 2/n))

             ^n->ₒₒ

 

• = lim   (lim * (4 + 2/n) / lim * (3 – 2/n)

                    ^{n->ₒₒ    n->ₒₒ                        n->ₒₒ}

 

• = lim (4) + lim (2/n) / lim (3) – lim (2/n)

                   ^n->ₒₒ

= 4 + 0 / 3 – 0

= 4/3