Ableitungen berechnen – Übungen
Durch die Ableitung einer Funktion versucht man die Steigung der Funktion zu berechnen. Die Ableitung definiert man als Steigung einer Tangente, die man an den Graphen anlegt.Bei linearen Funktionen berechnet man die Steigung durch die Formel y = mx, die man dafür wie folgt umstellen muss: m = y/x.
Durch die Differenz kommt man auf die Seitenränder des Steigungsdreiecks: m = y2-y2 / x2-x1. Man nähert zwei Punkte immer weiter aneinander an, um die Steigung in einem einzelnen Punkt berechnen zu können.
Dies nennt man Differenzialquotient: fx-f(x0) / x-x0).
Um die Steigung möglichst genau berechnen zu können, müssen die Punkte extrem nah aneinander liegen.
Hierbei verwendet man den sogenannten Limes (Grenzwert).Der Differenzialquotient sieht also folgendermaßen aus:
lim f(x) – f(x0) / x – x0
x->x0
Beispiel: f(x) = 7
= lim f(x) – f(x0) / x – x0 = lim 7 – 7 / x – x0 lim 0 / x-x0 = 0 x->x0 x->x0 x->x0
Da es zu kompliziert und aufwendig ist, die Steigung jedes Mal über den Grenzwert und den Differenzialquotient auszurechnen kann man eine einfache Regel anwenden um einfach und schnell abzuleiten (differenzieren). Die Ableitung einer Funktion f(x) nennt man f‘(x).
Regel für eine beliebige Potenzfunktion: f(x) = xn -> f‘(x) = n * xn-1
Beispiel 1: f(x) = 2x³ + 5x²
-> f‘(x) = 3*2x3-1 + 2*5x2-1 = f‘(x) = 6x² + 10x
Beispiel 2: f(x) = x
-> f(x) = x1 -> f‘(x) = 1*x1-1 -> f‘(x) = 1 – 1 -> f‘(x) = 1
Beispiel 3: f(x) = x²
-> f‘(x) = 2x2-1 -> f‘(x) = 2x
Beispiel 4: f(x) = √
-> f‘ (x) = ½*√x
Beispiel 5: f(x) = 7x6 = 6*7x6-1 = 42x5
Beispiel 6: f(x) = 15x11 = 11*15x11-1 = 165x10
Beispiel 7: f(x) = 4x8 = 8*4x8-1 = 32x7
Beispiel 8: f(x) = 32x17 = 17*32x17-1 = 544x16
Beispiel 9: 12x³ – 7x² + 8x = 3*12x³-1 – 2*7x2-1 + 1*81-1 = 36x² – 14x + 8
Die bisher behandelten Beispiele sind einzelne Werte oder Summen. Diese sind leicht anzuleiten. Bei komplizierteren Funktionen, wie z.B. Produkten, Quotienten bzw. Brüchen oder verketteten Funktionen stößt man jedoch leicht an seine Grenzen. Bei diesen Spezialfällen kommen die Produktregel, die Quotientenregel oder die Kettenregel zum Einsatz.