Ableitungen berechnen – Ableitung von X bilden & Ableitungsrechner
In diesem Artikel wird ausführlich erklärt, wie du die Ableitung von Variablen wie X bildest und welche Besonderheiten du dabei beachten musst.
Weiter findest du hier eine Tabelle mit den wichtigsten Ableitungsregeln für bestimmte Terme sowie einen Online – Ableitungsrechner, mit dem du hier auf der Seite Terme direkt ableiten kannst.
1. Was sind Ableitungen und wozu braucht man diese?
Wenn man die Ableitung bildet, guckt man damit, wie sich die Funktion bzw. der Graph einer Funktion verhält, wenn man diesen gegen X0 laufen lässt. So berechnet man beispielsweise mit der 1. Ableitung die Steigung des Graphen einer beliebigen Funktion.
Mit der zweiten und dritten Ableitung kann man Wendepunkte und Extrempunkte dieser innerhalb der kompletten Funktionsuntersuchung berechnen.
2. Wie berechne ich Ableitung?
Wenn du einen Term nach einer Variable X ableiten willst, gehst du dabei immer nach dem gleichen Schema vor. Dabei ist es egal, welche anderen Variablen noch im Ausdruck stehen: Du leitest hierbei immer nur nach einer vorher festgelegten Variable (beispielsweise X) ab und betrachtest dann alle anderen Variablen (beispielsweise Y oder Z ) als normale Zahl.Bei dem Ableiten nach X musst du einfach nur folgende 3 Ableitungsregeln einhalten.
- Du multiplizierst den Faktor vor der Variable ( nach der du ableitest) mit der Potenz ( Hochzahl) der Variable und verringerst diese anschließend um -1
- Wenn es keine Potenz gibt, bzw. die Potenz hinter der Variable gleich 1 ist, fällt einfach nur die Variable weg.
- Eine einzelne Zahl ohne Variablen fällt beim Ableiten einfach weg, bzw. wird = 0
Beispiel:
- Bilde die 1.Ableitung von der Funktion: f (x) = 5x^2 + 20x – 10
- 5x^2 : Wir multiplizieren den Faktor vor X mit der Potenz von X und verringern die zweitgenannte anschließend um -1 : 2 * 5x = 10x und x^2 -1 = x^1
- = 10 x^1 = 10x
- 20x : Wenn die Variable keine Potenz ( also hoch 1) hat, fällt diese einfach weg:
- = 20
- – 10 :Wenn nur eine normale Zahl steht, fällt diese einfach durch die erste Ableitung weg:
- = 0
- Die 1.Ableitung der gesamten Funktion lautet also: f´(x) = 10x + 20 + 0
Wenn du nun die zweite Ableitung bilden willst, leitest du einfach die erste noch einmal nach dem gleichen Muster ab:
- f´(x) = 10x + 20 → f´´(x)= 10
Auch für die dritte Ableitung leitest du einfach die zweite noch einmal ab:
- f´´(x)= 10 → f„`(x) = 0
3. Tabelle und Ableitungsrechner
Hier findet ihr die wichtigsten Ableitungsregeln noch einmal ausführlich aufgeschrieben und einen Online-Rechner, wo ihr nur die Funktion eingeben müsst, die abgeleitet werden soll und festlegen müsst, welche Ableitung von dieser gebildet werden soll:
